Penyelesaian Metode Newton Raphson dengan Matlab

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

Prosedur Metode Newton :      

1. menentukan x₀ sebagai titik awal, 
2. kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x₀). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu – x di titik x₁. 
3. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x₁ dianggap sebagai titik awalnya. 
4. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x₂, x₃, … x_n dengan x_n yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson

persamaan garis l : y – y₀ = m(x – x₀)

y – f(x₀) = f'(x₀)(x – x₀)

x₁ adalah perpotongan garis l dengan sumbu – x

0 – f(x₀) = f'(x₀)(x₁ – x₀)

y = 0 dan x = x₁ maka koordinat titik (x₁, 0)

  = (x₁ – x₀)

x₁ = x₀ –  

x₂ = x₁ –  

Jadi, Persamaan Newton Rapshon:

x_n = x_n-1–  untuk n = 1, 2, 3, …

Contoh :

Tentukan akar dari persamaan 2x³ – 5x² + 9x – 10 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson.

Penyelesaian:

f(x) = 2x³ – 5x² + 9x – 10

f’(x) = 6x² – 10x + 9

Penyelesaian dengan Matlab:

Dengan f1= f(x) dan f2= f’(x)

run di matlab dan masukkan nilai awal x1= ...

List Matlab:

clear all;

clc;

disp ('metode newton rapshon')

disp('---------------------------------------------------')

x1=input('masukkan nilai x1 = ');

toleransi=input('masukkan nilai toleransi = ');

e=1;

ite=0;

while e>=toleransi

    f1=(2*x1^3)-(5*x1^2)-(9*x1)-10;

    f2=(6*x1^2)-(10*x1)+(9);

    ite=ite+1;

    x2=x1-(f1/f2);

    e=abs((x2-x1)/x1);

    x1=x2;

end

disp('---------------------------------------------------')

disp(['x2 = ',num2str(x2)])

disp('----------------------')

disp(['toleransi = ',num2str(toleransi)]);

disp('----------------------')

disp(['error = ',num2str(e)]);

disp('----------------------')

disp(['iterasi = ',num2str(ite)]);

disp('---------------------------------------------------')