Penyelesaian Metode NGB dengan Matlab

NGB (Newton Gregory Backward) adalah metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan
 perhitungan diferensial atau derivatif dari suatu fungsi. Kita dapat menentukan derivatif atau turunan dari suatu fungsi dengan rumus-rumus derivative yang telah baku atau diketahui. Dua situasi mendasar apabila suatu proses memerlukan turunan numerik:

1. Apabila fungsi f dinyatakan hanya dengan sekumpulan titik-titik data (x0, f0 ), (x1, f1 ), (x3, f3 ), …, (xn, fn ) dan nilai-nilai fungsi tersebut tidak diketahui.
2. Apabila fungsi f terlalu rumit dan diferensiasi secara analitik sukar dilakukan meskipun nilai fungsi f mudah ditentukan.


 Rumus-rumus turunan numerik untuk pendekatan NGB dapat diturunkan dari deret Taylor.

Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor
Misalkan diberikan titik-titik (xi, fi) , i = 0, 1, 2, ..., n, yang dalam hal ini xi= x0+ih dan fi= f(xi). Kita ingin menghitung f '(x), yang dalam hal ini x = x0 + sh, s ∈R .
 Kurva Pendekatan Penghitungan Turunan Numerik 
 Pendekatan NGB
 



Pendekatan Turunan Pertama NGB

Uraikan f(xi-1) disekitar xi:

 yang dalam hal ini galat berupa: O(h) = -h/2 f’’(t), xi-1Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya:
 
dalam hal ini, O(h) = -h/2 f’’(t), xi-1 
Pendekatan Turunan Kedua NGB
Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh
 
dalam hal ini, O(h) = hf’’(t), xi-2
Untuk nilai-nilai f di x-2, x0 dan x1 persamaan rumusnya:
 
dalam hal ini, O(h) = h f’’(t), xi-2 
Contoh:
1. Backward difference (dua titik)
RUMUS: 


Diketahui data sebagai berikut
x       𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 𝑆𝑖𝑛 (𝑥)
0.4     0.261035
0.6     0.309882
0.8     0.322329
1        0.309560
1.2     0.280725
1.4     0.243009
1.6     0.201810

𝑓′ 1 = −0.110794 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘)
Hitung nilai pendekatan f’(1) dan galat dengan selisih h = 0.2 !

Penyelesaian Metode NGB Dengan Matlab
List Matlab:
 
clear;
clc;

disp('metode NGB')
n=input('masukkan nilai n = ');

x=[0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6];
f=[0.261035 0.309882 0.322329 0.309560 0.280725 0.243009 0.201810];
for i=1:n-1
    del(i,1)=f(i+1)-f(i);
end
for j=2:n-1
    for i=1:n-j
        del(i,j)=del(i+1,j-1)-del(i,j-1);
    end
end
del=del;
h=x(2)-x(1);
jawab='y';
while jawab=='y';
    xcari=input('masukkan nilai xcari = ');
    b=(xcari-x(n))/h;
    i=1;
    hasil=f(n);
    for j=1:n-1
        i=i*(b-j+1);
        hasil=hasil+del(n-j,j)*i/factorial(j);
    end
    disp(['hasil=',num2str(hasil)]);
    disp(['b= ',num2str(b)]);
    disp(['jawab= ',num2str(jawab)]);
end